22.3 实际问题与二次函数（第二课时）7页（教学设计）九年级数学上册同步备课系列（人教版）

22.3 实际问题与二次函数（第二课时） 教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十二章“二次函数”22.3 实际问题与二次函数（第二课时），内容包括：利用二次函数解决利润最值问题与拱桥最值．

2.内容解析

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，将实际问题中的变量关系转化为二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小(大)值，并运用这个结论解决相关的实际问题．

利用二次函数解决销售利润问题的方法：(1)读懂题意；(2)借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系；(3)确定函数解析式；(4)确定二次函数的最值；(5)检验、解决实际问题。特别需要注意，解答此类型问题要抓住关键的词和字，将实际问题转化为求函数最值问题。既要看到销售价格对销售量的影响，也要看到销售价格对单件商品利润产生的影响，两者结合起来，销售价格就会对销售总利润产生影响。在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响。

以现实生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等抛物线的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数法确定二次函数的表达式是解决此类问题的关键．

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小(大)值解决实际问题．

二、目标和目标解析

1.目标

1)求二次函数y＝ax²＋bx＋c的最小(大)值．

2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题．

2.目标解析

达成目标1）的标志是：学生会借助于二次函数的图象得到在二次函数顶点处取得最小(大)值的结论，理解当x＝－时，函数有最小(大)值．

达成目标2）的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小(大)值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题．

三、教学问题诊断分析

学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解决实际问题，这为本节课的学习奠定了基础．但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说，要完成这一过程难度较大．

基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题抽象出数学模型，并利用二次函数解决实际问题．

四、教学过程设计

（一）复习巩固

[问题]简述用二次函数解决实际问题的一般步骤？

师生活动：教师提出问题，学生回答．

【设计意图】复习回顾用二次函数解决实际问题的一般步骤为本节课学习利用二次函数解决利润最值问题与拱桥问题进行铺垫．

（二）探究新知

【问题】某产品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果调价，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，请问：

师：题中调整价格的方式有哪些？

生：涨价和降价．

师：如何表示售价、进价、销售数量与总利润之间的关系？

生：总利润=（售价－成本） ×销售数量=每件产品利润×销售数量．

师：当每件涨价x元时，售价是多少？销量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润呢？如何定价才能使每周利润最大化？

生：(60＋x)元，（300－10x）件，40(300－10x)，(60＋x)(300－10x)元，(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)元．

学生将利润的式子化简后，得利润y＝－10x²＋100x＋6 000=+6250(0≤x≤30)．

当产品单价涨价5元，即售价65元，最大利润为6250元

师生活动：先由学生尝试解决问题。教师根据情况给出提示信息：【销售最大利润问题关键】通过售价与利润关系得到二次函数的关系式，根据二次函数最值解决利润最值问题．

【设计意图】通过一系列问题，让学生明确实际问题的分析方法，从特殊到一般，最后利用学生已掌握的函数最值知识解决，从未知转化为已知．

师：当每件降价a元时，售价是多少？销量是多少？成本是多少？销售额是多少？利润呢？如何定价才能使每周利润最大化？

生：(60－a)元，（300+20a）件，40(300+20a)，(60－a)(300+20a)元，(60－a)(300+20a)－40(300+20a)元．

学生将利润的式子化简后，得利润y=(60－a)(300+20a)－40×(300+20a) =+6125 (0≤a≤20)

当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，最大利润为6125元

师：由上面的讨论及现在的销售情况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？

生：因为6 250＞6 125，所以涨价5元时利润最高．

【设计意图】通过让学生独立完成，提升学生解决实际问题的能力和应用函数知识解决实际问题的意识．

【问题】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；

(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？

师生活动：先由学生尝试解决问题．教师适当引导，最后通过多媒体给出具体求解过程．

【设计意图】请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程中做到有的放矢，对症下药。

[问题]简述利用二次函数解决利润最值的方法？

师生活动：先由学生回答，再由教师引导学生，得出如下结论：

巧设未知数，根据利润公式列出函数关