21.3 实际问题与一元二次方程（传播问题和变化率问题）9页（教学设计）九年级数学上册同步备课系列（人教版）

21.3 实际问题与一元二次方程 教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.3 实际问题与一元二次方程第1课时，内容包括：利用一元二次方程解决传播问题和变化率问题。

2.内容解析

本节课学习如何利用一元二次方程解决传播问题和变化率问题。想要解决传播问题，就要分析两轮传播中每个周期内相应的数量关系，从而将实际问题转化为数学问题，再次体现数学建模思想，在此过程中培养学生分析问题和运用一元二次方程解决实际问题的能力。探究2以成本下降为问题背景，讨论平均变化率的问题，这类问题在现实世界中有许多原型，例如经济增长率、人口增长率等，教材中讨论两轮（即两个时间段）的平均变化率，它可以用一元二次方程作为数学模型，涉及成本下降额和成本下降率，这两个接近而不同的概念，前者表示绝对变化量，单位是元；后者表示相对变化量，是表示比率的数字，通过这个问题，可以使学生认识到分析问题时应对变化额与变化率两者兼顾，这样才能全面比较对象的变化状况。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：找出实际问题中的等量关系，正确列出一元二次方程。

二、目标和目标解析

1.目标

1）根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。

2) 通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。

2.目标解析

达成目标1)的标志是：通过审题，分析出“传播问题”中每个周期的传播源和传播后的总数各是什么，分析出“变化率问题”中“第一个时间段”,“第二个时间段”变化前、后的量与平均变化率的关系，从而选择合适的未知数，列出相应的代数式。找等量关系，正确列出方程并求解，从而解决实际问题。

达成目标2）的标志是：对用方程解决实际问题的步骤（审、设、列、解、验、答）进行回顾、总结和深化，体会一元二次方程是解决实际问题的一种数学模型。

三、教学问题诊断分析

九年级学生已具备一定的建模思想，也接触了一些实际问题，了解将实际问题转化为数学问题的一般步骤，积累了一定的解题经验和方法。学生解决“传播问题”的困难是：“第一轮”，“第二轮”中的传染源及被传染总人数是多少，在弄清问题背景，明确数量关系后，还要解决第二轮被传染总人数的代数式如何表示的问题。学生解决“变化率问题”的困难是：“第一个时间段”，“第二个时间段”变化前、后的数量和平均变化率的关系，在弄清问题背景，分析数量关系后，还要解决第二个时间段的代数式如何表示问题。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：发现实际问题的等量关系。

四、教学过程设计

（一）复习旧知，引入新课

【提问】已经学过了哪些解一元二次方程的方法?

师生活动：教师提问，学生回答。

【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤?

师生活动：教师提问，学生回答。

【设计意图】先回顾解一元二次方程及列方程解决实际问题的相关知识，为本节课学生学习利用一元二次方程解决传播问题和变化率问题做好铺垫。

（二）探究新知

【问题】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题：

【提问1】本题要解决什么问题？（传播问题）

【提问2】第一轮、第二轮中传染源人数和被传染人数各是多少？如何表示？

（设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染源人数为1人，被传染人数为x人，第二轮传染源人数为（x+1）人，被传染人数为x（x+1）人）

【设计意图】将学生放置在实际问题的背景下，针对具体情景分析其中的数量关系。学生理解的难点就是如何表示每一轮的传染源人数和被传染人数。因此在此设问，以帮助学生理解。

【提问3】本题中的等量关系是什么？你能解决这个问题吗?

师生活动：学生独立思考，给出答案。

等量关系:初始传染源人数+第一轮被传染人数+第二轮被传染人数=两轮后传染总人数

解设每轮传染中平均一个人传染了x个人

列方程 1+x+x(1+x) = 121

解方程得x₁=10，x₂=-12 （不合题意，舍去）

答：平均一个人传染了 10 个人

【设计意图】通过找等量关系，让学生经历完整的解题过程，提高分析问题和解决问题的能力。

【问题】如果按照这样的传播速度，第三轮传染过后，总共有多少人得流感？

师生活动：学生独立思考，尝试给出答案。教师在学生活动过程中可提出如下提示性问题：

【提问4】前两轮总共有多少人患流感？每轮传染中平均一个人传染几个人？（121人、10人）

【提问5】第三轮中传染源人数和被传染人数各是多少？（121人、1210人）

【提问6】你能解决这个问题吗?

师生活动：学生独立思考，回答，得出121+121×10 = 1331（人）

【设计意图】让学生进一步理解传播问题的特征。

【问题】若某人感染流感，假设每轮传